摘要： 栖身于现代数学各个分支的Gamma函数在积分、级数、微分方程、分数阶微积分、概率论、数论、数学竞赛中都有重要的作用,具有较高的理论研究价值和较强的实用性.论文研究了实数域上的Gamma函数的定义和基本性质,复平面上Gamma函数的定义和基本性质,分析了Gamma函数与Beta函数、Riemann函数、Digamma函数之间的关系,介绍了Gamma函数的函数方程.利用Gamma函数的性质巧妙地解决了一些积分的计算问题,基于Euler-Gauss公式给出了一种判断含有阶乘因子的级数的敛散性的新方法,并简要介绍了Gamma函数在微分方程、分数阶微积分、概率论、数论、数学竞赛中的应用.

关键词 Gamma函数  应用  微积分  余元公式  方程

目录

摘要

Abstract

0 引言5

1 实数域上的Gamma函数5

1.1定义5

1.2基本性质6

2 复平面上的Gamma函数10

2.1定义10

2.2积分路径的修改10

2.3基本性质11

2.4解析延拓11

3 Gamma函数与其他函数之间的关系12

3.1 Gamma函数与Beta函数之间的关系12

3.2 Gamma函数与Riemann函数之间的关系13

3.3 Gamma函数与Digamma函数之间的关系13

4 Gamma函数的函数方程14

5 Gamma函数的应用15

5.1 Gamma函数在积分中的应用15

5.2 Gamma函数在级数中的应用17

5.3 Gamma函数在微分方程中的应用18

5.4 Gamma函数在分数阶微积分中的应用19

5.5 Gamma函数在概率论中的应用21

5.6 Gamma函数在数论中的应用23

5.7 Gamma函数在数学竞赛中的应用24

参考文献27