摘要：微分方程不仅在数学界十分重要, 而且在物理、化学和生物等自然学科领域中也有着十分重要的地位. 在现代社会, 微分方程与人类世界息息相关, 现实世界有许多问题都可以转化成微分方程进行求解, 例如: 圆薄膜问题、人口问题和生物种群模型等. 目前, 研究人员对微分方程的研究有几个不同的关注点, 但是一直以来最重要的还是求解. 在对微分方程求解的研究过程中产生了许多种解法, 例如变量分离法、初等变换法和积分因子法等, 幂级数法也是众多解法中的一种. 在一定程度上, 幂级数法可以降低计算的难度并且更容易得到近似解. 但到目前为止，并不是所有的微分方程都可以使用幂级数法进行求解. 本文主要介绍了幂级数解法、广义幂级数解法和残差幂级数解法等相关解法在部分微分方程中的运用. 

关键词：微分方程  幂级数法  残差幂级数法  贝塞尔方程

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摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1微分方程简介-1

1.2幂级数法研究背景-1

1.3本文的主要工作和安排-2

1.4小结-2

2 预备知识-3

2.1柯西定理-3

2.2常点和奇点-3

2. 3幂级数解法-4

2.4广义幂级数解法-4

2.5残差幂级数解法-5

2.6小结-6

3 利用幂级数法求解部分微分方程-7

3.1幂级数法求解部分二阶线性微分方程-7

3.2幂级数法求解部分三阶线性微分方程-8

3.3幂级数法求解常系数线性齐次微分方程-11

3.4小结-13

4 幂级数法的实际应用-14

4.1幂级数法求解Airy方程-14

4.2广义幂级数法求解贝塞尔方程-15

4.3利用残差幂级数法求解分数阶偏微分方程-18

5 总结-21

参考文献-22

致谢-23