摘要：分数阶Schrödinger方程广泛用于数学物理、生物医学和金融经济等诸多领域。近年来，相比于整数阶Schrödinger方程，国内外学者更倾向于对分数阶Schrödinger方程的研究，这与分数阶Schrödinger方程不断扩展应用到实际问题息息相关。但是，一般情况下只有极少数偏微分方程能够得到精确的解析表达式，且其解析解通常使用一些复杂的函数表示，在实际应用中常常通过其数值解来表示方程的结果。

本文主要研究一类分数阶Schrödinger方程的差分格式，内容包括，一、陈述、分数阶Schrödinger方程的、发展与运用以及国内外离散方法的研究成果；二、详述分数阶Schrödinger方程等式左右两边采用不同的离散方法，即左边使用Caputo导数的公式逼近，右边使用中心差分进行逼近，最后全部带入原方程构造出有效的差分格式；三、结合数学理论对所得差分格式的稳定性、收敛性展开讨论，并得出结论；四、使用具体的数值算例完成对差分格式的稳定性和收敛性的成功检验；五、简要总结本文的工作，以及分析本文的缺点。

关键词：分数阶Caputo导数 分数阶Schrödinger方程 公式 有限差分法

目录

摘要

Abstract

1引言-1

1.1 研究背景及意义-1

1.2 国内外研究现状-2

1.3 本文所需的基本概念-3

1.3.1 Caputo分数阶导数-4

1.3.2算法和算法-4

1.4 本文主要工作-5

2 时间分数阶Schrödinger方程的有限差分格式-6

3 差分格式稳定性与收敛性分析-9

4 数值算例-12

5 总结-17

参考文献-18

附录-22

致谢-24