摘要：群与集合是近世代数中的基础内容，也是从实践中发展起来的比较抽象的学科内容.群作用于集合的想法由来已久，早在拉格朗日时期，他就用置换来作用预解式；鲁菲尼、柯西、若尔当都曾研究过置换群的传递性，这完全可以看做是置换群在集合上的作用；由凯莱定理知，所有的群均同构于置换群或变换群，故群作用的思想可推广于任意群，群作用的思想就是对群置换群和变换群的进一步扩展.群对集合的作用可将集合分类为不同的轨道，伯恩赛德引理由群对集合的作用引出，并为群作用的实际应用奠定基础.同时，群作用也是研究群论的强有力工具，在轨道计数定理中就运用了群作用来讨论群的结构；类方程作为有限群论中最重要的工具之一，相比通过元素的中心化子，采用群作用得出类方程的途径会更加自然；西罗第二定理的证明也运用到了群作用.

本文将从群的定义及其基本性质出发，逐步研究群在集合的作用，例如集合的轨道定理，西罗定理、柯西定理的证明等等.

关键词：群  群在集合的作用  群作用的应用

目录

摘要

Abstract

1.-绪论-1

2.-群的概念及其性质-1

2.1.群的定义-2

2.2.群的性质-2

3.-群在集合上的作用-4

3.1.群作用定义-4

3.2.轨道、稳定子群与中心-5

4.-群作用的应用-8

4.1.群作用对群论研究的作用-8

4.2.群作用在实际问题中的作用-10

5.-总结-13

6.-致谢-14