摘要：留数理论是复变函数论最重要的理论之一,留数理论在实际应用中也有着重要的意义.本文首先介绍解析函数和孤立奇点的定义；再利用洛朗展式对解析函数的孤立奇点进行分类；而后介绍留数的定义、留数常用的计算方法以及留数定理；最后介绍留数定理的应用.作为留数定理的应用,本文主要介绍留数定理在计算复函数在封闭曲线上积分的应用以及如何将几种不同类型的实积分转化为复函数积分,从而利用留数定理解决某些用常规方法不能求解的实积分计算问题.文章的最后还介绍了由留数定理证明的辐角原理以及辐角原理的推论——儒歇定理，并简单介绍了儒歇定理的应用.

关键词：解析函数  洛朗展式  孤立奇点  留数

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摘要

Abstract

1 引 言-1

2  解析函数-1

2.1  解析函数的定义-1

2.2  解析函数的洛朗展式-1

2.2.1  双边幂级数-1

2.2.2  洛朗定理-1

3 有限孤立奇点-2

3.1孤立奇点的定义-2

3.2  有限孤立奇点的类型-2

3.2.1  可去奇点-2

3.2.2  极  点-2

3.2.3  本质奇点-3

4  无穷为孤立奇点-4

5  留数理论及其应用-4

5.1  留  数-4

5.1.1 留数的定义-4

5.1.2 留数定理-5

5.1.3 留数的求法-5

5.2   留数定理的应用-7

5.2.1计算沿封闭曲线的复积分-7

5.2.2计算某些实积分-8

5.2.3计算的对数留数-13

6 总 结-15

参考文献-16