摘要：常微分方程是数学专业的必修课程，线性微分方程更是其中一个重要的理论。随着科技进步和社会发展，常微分方程在物理、生物、工程、航空航天、医学、金融、生产、管理、社会等领域有十分重要的作用。其中，线性微分方程的解法研究一直是常微分方程研究的重要课题。目前已有学者对二阶常系数线性微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、高阶常系数线性常微分方程、高阶常系数线性非齐次常微分方程等等具体类型微分方程的解法进行了研究（见参考文献[1]、[2]、[3]、[4]）。但是对于线性微分方程解法的归纳总结陈述较少，目前只查阅到一阶线性微分方程的解法研究（见参考文献[5]）、高阶线性微分方程解法探讨（见参考文献[6]）以及浅谈线性微分方程的若干解法（见参考文献[7]）,尚未对一阶和高阶线性微分方程进行归纳总结。因此，文章基于一阶和高阶线性微分方程的若干解法，进行归纳总结，并且列举一些典型例题。以帮助初学者能够对线性微分方程的解法有系统的了解，更快理解其背后的理论且掌握相关的计算技巧。

关键词　一阶线性微分方程、高阶线性微分方程、解法研究、归纳总结

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摘要

ABSTRACT

1.引言-1

2.一阶线性微分方程-1

2.1分离变量法-1

2.1.1变量分离方程的一般解法-1

2.1.2可化为变量分离方程的两种简单类型-2

2.2常数变易法-4

2.2.1一阶非齐次线性微分方程的解法-4

2.2.2伯努利微分方程的解法-6

2.3积分因子法-8

2.3.1恰当微分方程的解法-8

2.3.2积分因子以及积分因子法-9

2.4参数表示法-11

2.4.1可以解出(或)的方程-11

2.4.2不显含(或)的方程-11

3. 高阶线性微分方程-12

3.1高阶线性微分方程的一般理论-12

3.2常系数齐次线性微分方程的特征根法-13

3.2.1特征根为单根-14

3.2.2特征根为重根-14

3.2.3欧拉方程的解法-14

3.3非齐次线性微分方程与常数变易法-15

3.4常系数非齐次线性微分方程的比较系数法-16

3.5高阶微分方程的降阶法-17

3.5.1方程不显含未知函数-17

3.5.2不显含自变量的方程-17

3.6二阶线性微分方程的幂级数法-18

4. 总结-18

参考文献-20

致谢-21