摘要：本文简单介绍了微积分的发展历程，叙述了黎曼积分和勒贝格积分的定义、可积条件、积分不等式性、积分的可加性、线性性质、积分与极限可交换条件以及积分的绝对值与绝对值的积分相关性质，总结出两种积分在定义和性质上的相同与区别：两种积分从定义上看构造相似，但对被积函数积分区域和函数本身的要求不同；性质对比展现了勒贝格积分极大的优越性，它不仅具备黎曼积分有的性质，也满足黎曼积分不具有的绝对可积性；除此之外，勒贝格控制收敛定理表明相对于黎曼积分函数列一致收敛，积分与极限可交换的性质，勒贝格积分积分与极限可交换的条件更弱，这在很大程度上提高了勒贝格积分的实用性。最后，本文运用勒贝格判别法探讨了黎曼积分与勒贝格积分的关系：若函数黎曼可积则该函数一定勒贝格可积，且两种积分的积分值相等。

关键词： 黎曼积分；勒贝格积分；可测集；可测函数

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摘要

ABSTRACT

1 引言-1

1.1  黎曼积分的发展-1

1.2-勒贝格积分的引入-1

2 黎曼积分与勒贝格积分的定义对比-3

2.1-黎曼积分-3

2.2-勒贝格积分-3

2.3-总结-5

3-黎曼积分与勒贝格积分的性质对比-5

3.1-可积条件-5

3.1.1  可积的必要条件-6

3.1.2  可积的充要条件-6

3.1.3  可积的充分条件-7

3.2  积分不等式性-7

3.3  积分的可加性-8

3.4-线性性质-8

3.5-积分的绝对值与绝对值的积分-9

3.6-积分与极限可交换的条件-10

3.7-一般可测函数的勒贝格积分的性质-12

3.8-总结-13

4-黎曼积分与勒贝格积分的关系-13

参考文献-14

致谢-15