浅谈高考导数综合题的解法及特点

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 摘要：本文研究了六种导数综合题型，并探讨每类题型的解法，然后在这些解法的基础上归纳总结了高考导数综合题的命题趋势和特点。

关键词：导数  综合  特点

1、引 言

众所周知，导数是现行高中数学教材新增内容，由于它与高等数学内容相衔接，为研究函数问题开辟了一条新的途径，同时它还与解析几何、平面向量、数列、不等式等新旧内容有着紧密的关系，拓宽了高考中数学问题的命题范围，使得利用解决一些数学问题成为高考命题的一个热点。而且它在研究函数的单调性、奇偶性、极（最）值等性质方面，较之传统方法具有简捷明快、容易掌握等明显的优越性，它还是进一步学习数学、物理等学科知识的重要基础。这部分内容自2000年以来全国和单独命题的省、市新课程高考试题中的必考内容，且每一年都有导数综合题。对于这个题的解答过程，导数往往扮演的是工具性1的角色，这也是数学应用价值的一种体现。

2、导数应用题的类型

2.1、导数与解析几何的综合

    这种题型考查的方式一般有两种：一是在解析几何背景下的最值问题，这时导数起到的就是工具性的作用，如例1；二是有关曲线的切线问题，利用导数的几何意义来解这类问题往往起到事半功倍的效果，从而体现了导数的优越性，如例2。

例1 （05广东卷）在平面直角坐标系中，已知矩形的边长为2，宽为1，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如下图所示），将矩形折叠，使点落在线段上．

（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；

（Ⅱ）求折痕的长的最大值．

 

解：（Ⅰ）（1）当时,此时A点与D点重合, 

折痕所在的直线方程；

（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD

上的点为．所以A与G关于折痕

所在的直线对称，有

故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为，折痕所在的直线方程为：， 即

由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，；时

（Ⅱ）(1)当时，折痕的长为2；

 (2)当时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为

 

令解得    ∴

所以折痕的长度的最大值2.

例2（07全国卷Ⅱ ）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设,如果过点可作曲线的三条切线，证明：．

分析：本题考查导数的几何意义，即切线斜率的概念，考查导数的应用，单调性和极值的判断，以及用极值和单调性判断方程根的个数。

解：（Ⅰ）对函数的求导得；．

曲线在点M处的切线方程为：，

 

由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根； 

当时，解方程 得，即方程只有两个相异的实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根． 

综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则  即   ．

2.2、导数与平面向量的综合

    把平面向量、函数、导数等知识点交汇命题，试题新颖而又综合。它重在考查平面向量数量积的计算方法，利用导数研究函数的单调性，并运用函数的性质分析问题和解决问题，充分体现了导数解题的工具性作用。 

例3（05湖北卷）已知向量，若函数,在区间上是增函数，求t的取值范围。

分析；本题中的向量只是一个载体，借助向量的知识考查了导数与函数的关系，充分体现了学科内综合的命题特点。

解：依题意 ，则

，

若在区间内是增函数，则在区间内可设，

因为的图像是开口向下的抛物线，

所以，当且仅当 时，在区间内满足，即在区间内是增函数，

故t的取值范围是.

2.3、导数与数列的综合

传统的数列高考题都比较难，其主要表现为入题难，具有很强的技巧性。但是，由于近年来高考改革步伐的不断推进以及新课程的投入使用，有关数列高考题的命题方式，也在不断的尝试，于是把导数、向量等知识点融合到数列中一起考查已成为一种新的热点和常考点，使得新课程改革中所倡导的利用数学知识本身来解决与数学有关的实际问题的提议得到了真正的落实语实现，在这一思想指导下导数的解题工具性作用具有了真正的应用价值。

例4（07广东文）已知函数 是方程的两个跟，且，是的导数，设，（）

（Ⅰ）求的值； 

（Ⅱ）已知对任意的正整数有,记, (n=1，2，…)求数列的前项和. 

   所以数列是首项,公比为2的等比数列，

由等比数列的前项和公式得：

 

2.4、导数与不等式的综合

    与传统的数列高考题一样，传统的不等式高考题也是很难。同样地，也由于近年来高考改革步伐的不断推进以及新课程的投入使用，有关不等式高考题的命题方式，也在不断的尝试，于是把导数、向量等知识点也融合到不等式中一起考查已成为一种新的热点和常考点，其新课程中所倡导的利用数学知识本身来解决与数学问题有关的提议得到真正的体现，即导数的工具性得到了展示。对于这类题型一般有两种情况：一种是利用导数先求解题目已知函数的特性，然后再证明不等式，对于此问可用导数法求证，也可以不用，如例5（II）的证法1、证法2；另一种是在对带参数不等式的参数范围讨论问题中，经常运用辅助函数法，然后通过对辅助函数求导来解决问题，如例6。

例5（04全国理）已知函数

（Ⅰ）求函数的最大值；

（Ⅱ）设，证明 

2.5、利用导数解决实际问题

    建立数学模型并求其最值是高考应用题的“常客”。解决这类问题应先建立目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质通过对目标函数进行求导，再令目标函数的导函数为零，即转化为方程求解出稳定点，最后把所求得的稳定点与之前确定其定义域综合考虑比较几个点的函数值的大小，从而得出所求问题的最大（小）值。有关函数的最值问题是近年高考的热点和难点，其考查方式方法灵活多样，利用导数求最值，无疑为问题的解决开辟了一条“绿色通道”。

例7（05年全国卷Ⅲ） 用长90㎝、宽48㎝的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去了四个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

分析：本题是应用题，考查用导数判断单调性，判断极值和求最大值。

 

2.6、利用导数研究有关函数的性质

    函数的性质包括函数的单调性、奇偶性、以及函数的极（最）值等，利用导数研究有关函数的性质是导数最重要也是最广泛的应用。而且它还是初等数学和高等数学的衔接点。

例8 （07海南文19）设函数 

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值。

分析：本题考查利用导数判断函数在一定区间的单调性和求函数在相应区间的最大(小)值，从而考查运用分析与综合的数学思想方法解决简单综合问题的能力。

解：函数的定义域为（），

（Ⅰ）

当 时，；当 时，；当 时，.从而分别在区间（），（）上单调递增，在区间（）单调递减；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为，

又 ，

所以在区间的最大值为 .

3、总结

高考中的导数综合题的命题方式和题型多种多样的，对于本文中的这六种分类只是本人的粗略看法，有关导数综合题的类型是很多的，它除了以上六种常见情形外，它还可以与复数、集合、三角函数等知识点综合， 如07年的四川理22题就考查了导数与二项式定理、组合数公式的综合，因此，在通常的数学学习和高考复习的过程中，对于以上都要引起我们的重视。综合以上，有关导数综合题命题趋势和特点4可以归结为以下六点： 

（1）内容新：考查知识点新，为新教材新增内容，且比重较大；

（2）方法新：考查知识点不算新颖，但利用导数的工具性作用去研究和解决其它数学问题的方法新颖； 

（3）角度宽：在利用导数研究函数性质方面与高等数学内容相衔接，因此，在相关题型的解法中并不局限于初等数学方法，还可利用高等数学方法来解；

（4）观点高：站在高等数学的高度命制高考题，用导数的观点审视分析、运用求导数的方法来解决一些与函数单调性有关的问题（如证明单调性、确定单调区间、求最值、证明不等式），以及研究求曲线的切线方程等，与传统的常规方法相比，简捷明快，具有明显优势；

（5）应用性强：不仅考查导数知识，还加强了导数的实际应用，体现了新课程中利用数学知识解决实际问题的教育目标；

（6）综合性强：不仅考查单个导数知识，还加强了与其它知识点的联系，体现了知识点交汇命题的原则。