摘要:离散方程是描述自然现象的一类非常重要的数学模型，离散方程的精确求解和对称分析的研究也是当前十分重要和前沿的研究课题。离散方程在各应用学科，如物理学，生物学，凝聚态物理和机械工程等领域起到了至关重要的作用。

本篇论文以孤子理论为指导，以符号计算软件Maple为辅助工具，利用扩展的楼直接方法研究了两个(2+1)-维离散方程。

本篇论文第一章论述了孤子理论的产生、发展以及研究现状，第二章对非线性微分方程及求解方法进行了简要的介绍，并阐述了非线性微分方程的对称分析和离散方程的楼直接法。最后一章基于扩展的楼直接方法研究了KZ方程、PK方程这两个(2+1)-维离散方程的对称变换并给出与之相应的定理。

关键词：对称变换；离散方程；楼直接法

目录

摘要

Abstract

1 孤子理论-1

1.1 孤子理论的产生和发展-1

1.2 孤立子的研究现状-2

2 非线性微分方程及求解方法-3

2.1 非线性微分方程求解方法-3

2.1.1 Tanh 函数展开法-3

2.1.2 反散射方法-3

2.1.3 Painleve截断展开法-4

2.1.4 Hirota双线性方法-5

2.1.5齐次平衡法-6

2.1.6 Darboux变换法和Bäcklund变换法-6

2.1.7 Jacobi 椭圆函数展开法和 F-展开法-7

2.2 微分方程的对称分析-8

2.2.1 微分方程的李对称-8

2.2.2楼直接法的背景及简介-9

3 两个(2+1)-维离散方程的对称变换-11

3.1 (2+1)-维KZ方程的对称变换-11

3.2 (2+1)-维离散PK方程的对称变换-13

结    论-16

参 考 文 献-17

致    谢-21