摘要:当前时代对于机器人的轨迹规划最经常采用的方法就是给机器人确定数个路径点之后，采用物理学的方法，通过物理学逆运动求解的方式，把机器人末端运动的轨迹变换成空间矢量；对于机器人运动的每一个通过的路径和相对应的关节，根据插值函数我们知道，各个路径和关节可以独立运动到相同时间、相对应的路径终点。通过这种物理学方法，可以发现，在机器人轨迹规划的过程中，我们很少分析机器人各个关节之间的耦合关系。而我们比较希望得到的方法是在对机器人轨迹规划的过程中，能够有一种更具有一般性的解决方法，对于机器人运动的研究、轨迹的规划能够和空间坐标的选择没有关系，同时能简化轨迹规划的计算过程。

通过查看相关文献我们知道，瑞士数学家Euler最早提出Euler折线法，它开启了微分方程数值解的新纪元，是后来数值解法的基础，很多微分方程初值问题的数值解就是以Euler折线法为基础发展而来，并且不断的提高了数值解法的精度。十九世纪末，德国的伟大数学家，以Euler折线法为基础，提出了近似解的思想，通过多次逼近真解和线性多步法，开创了方法。现在随着科学计算机技术的不断快速发展和近几年的大量普及，微分方程的数值解的方法也不断的壮大，计算效率和精确度得到了巨大的提升。

微分几何中的数值解法为基础构造控制算法,机器人轨迹规划的计算效率将会得到显著的提高，并且在机器人结构的改造设计研究试验中得到成功的应用。简单说，以微分几何法这一思想为基础是机器人运动轨迹规划的一个强大工具，能够快速提高计算效率。本文利用C语言实现了求解的算法，并且用这些算法来检验了我们的计算结果。所以，本次毕业论文就是以微分几何法为基础，基于测地线方程的概念，把这一有力工具应用在机器人的轨迹规划当中。

关键词：微分几何，数值解，测地线，机器人，轨迹规划

目录

摘要

Abstract

前言-4

第一章 绪论-5

1.1 研究背景-5

1.2 研究内容-5

第二章 一阶微分方程的初值问题的数值方法-6

2.1 微分方程初值问题的理论基础-6

2.2 Euler方法-7

2.2.1 显式Euler法-7

2.2.2 隐式Euler法-8

2.3 Runge-Kutta方法-8

2.3.1 Runge-Kutta方法的提出-8

2.3.2 Runge-Kutta方法的构造-9

第三章 微分方程组的数值方法及程序实现-14

3.1 微分方程组数值解法概述-14

3.2 Euler方法-14

3.2.1 Euler方法概述-14

3.2.2 Euler方法的程序实现-14

3.3 Runge-Kutta方法-17

3.3.1 Runge-Kutta方法概述-17

3.3.2 Runge-Kutta方法的程序实现-17

第四章 测地线微分方程数值方法及应用-22

4.1 测地曲率-22

4.2 曲面上的测地线-26

4.3 单位球面上的测地线-28

4.4 应用：机器人的轨迹规划-30

第五章 总结与展望-33

1.1 总结-33

1.2 展望-33

参考文献-35

致谢-36