摘要:不等式作为数学领域中的一个重要知识体系，被广泛应用于数理科学的各个方面，从数的运算比较到线性回归问题，几乎处处都能找到不等式的身影，而在实际生活中,它也是把复杂问题变得简单化的一种重要工具。本文首先介绍了初等数学中常用的证明方法如比较法、综合法、分析法、数学归纳法等；在此基础上重点归纳总结了利用数学分析相关知识证明不等式的方法，如利用函数的单调性、极值、凸凹性、微分中值定理和积分中值定理等证明不等式，以及灵活的综合运用这些知识证明不等式的方法；最后简要总结了用一些已知不等式如柯西不等式、均值不等式、赫尔德不等式、詹森不等式等证明不等式的方法。通过对不等式证明方法的深入探究，不但进一步加强了对不等式及其相关性质的掌握，拓展了不等式方面的相关知识，同时还增强了自身的归纳总结能力和逻辑证明能力，培养了自主探究的习惯，对之后的学习提供了诸多经验。

关键词：不等式；导数；积分；中值定理

目录

摘要

Abstract

1.不等式研究的意义-1

1.1研究背景-1

1.2研究现状-1

1.3研究目的及意义-2

2.利用常用方法证明不等式-4

2.1比较法-4

2.1.1作差法-4

2.1.2作商法-4

2.2分析法-4

2.3反证法-5

2.4放缩法-6

2.5迭合法-6

2.6数学归纳法-7

2.7换元法-7

3.利用数学分析的相关知识证明不等式-8

3.1函数单调性-8

3.2函数的极值（最值）-9

3.3函数凹凸性-12

3.4中值定理-14

3.4.1拉格朗日中值定理-14

3.4.2泰勒中值定理-16

3.4.3积分第一中值定理-19

3.4.4积分第二中值定理-21

3.4.5定积分估值性质-22

4.利用已知不等式证明不等式-24

4.1柯西不等式-24

4.2均值不等式-24

4.3赫尔德不等式-26

4.4詹森不等式-27

结    论-28

参 考 文 献-29

致    谢-30