摘 要:在数值计算中经常遇到求函数值的问题.而用手工计算时常常通过函数表求得；在用计算机计算时，如果把函数表存入内存进行查表，则容易占用太多的存储单元，所以如果直接用公式计算会十分方便.因此，我们希望求出便于计算且计算量比较小的公式来近似已知函数f(x).要求在给定的精度要求下求计算次数最少的近似公式，这就是函数逼近与计算要解决的问题.当f(x)是周期函数时，显然用三角多项式比用代数多项式逼近更加合适.

函数的延拓就是把一个区间上的函数拓展到整个区间.通过延拓非周期函数到定义在更大区域上的周期函数，Fourier方法的应用范围可增大.当函数只在定义区域已知的Fourier延拓称为第三类延拓.我们这里用三角多项式对函数在定义区域内的离散节点进行插值，来求解Fourier级数的系数.我们考虑不同的插值条件对系数矩阵条件数的影响.函数的数值延拓实验验证了此方法的有效性.在解矩阵方程时，我们发现矩阵问题可能会是不适定的，这就会使直接求逆的解法产生误差，我们使用SVD方法改进解法，使延拓函数更加精确，函数图像更加光滑.

关键词：离散傅里叶变换；函数延拓；三角多项式插值；矩阵条件数；奇异值分解

目 录

摘 要

ABSTRACT

第1章 绪论-1

1.1课题背景-1

1.2国内研究状况-2

1.3基本知识介绍-2

1.3.1最佳平方三角逼近-2

1.3.2 三角插值-2

1.3.3离散傅里叶变换-3

1.3.4“傅里叶延拓”的定义：-4

第2章 第三类傅里叶延拓-5

2.1以2为周期的偶函数傅里叶延拓-5

2.1.1以2为周期的函数的傅里叶级数-5

2.1.2偶函数的傅里叶级数-5

2.2傅里叶近似-6

2.3矩阵条件数-7

2.3.1矩阵条件数的定义-7

2.3.2计算矩阵条件数-8

2.4 SVD方法（奇异值分解法）-8

第3章 数值实验-9

3.1实验原理说明-9

3.2实验步骤及结果-9

3.2.1一般方法求解-9

3.2.1 SVD方法（奇异值分解）求解-11

第4章 结论与展望-15

4.1结论-15

4.2 优缺点分析-15

参考文献-17

致  谢-18

附录A： 论文中程序部分代码-19