摘 要:自然界与工程实际中存在大量的移动边界问题。本文主要研究如何用高精度的数值算法解定义在一般区域上具有Dirichlet边界条件的Laplace方程。在这里我们利用多项式外插来处理边界条件，提高差分法数值离散的收敛速度。

    论文的第一、二章是知识背景。先给出了用有限差分法求连续定解区域的基本思想及差分法求解边值问题的具体步骤，然后详细介绍了狄利克雷（Dirichlet）边界条件下的区域的离散化及Laplace方程的相关背景知识。

在论文的第三章主要内容是有限差分法求解微分方程的具体步骤。

论文的第四章为数值模拟，用具体的例子说明如何处理边界条件以及如何利用差分公式，罗列离散方程和各种边界外插方程。然后利用MATLAB软件编程求解代数方程组，同时绘出数值解和真实解的函数图像。

    最后是结论部分，比较差分法求出的解与精确解以及使用不同边界处理方法时的收敛速度，比较在具体的实际问题中，各种边界外插法的优越性。

关键词：Dirichlet边界条件；Laplace方程；有限差分法；MATLAB

目 录

摘 要

ABSTRACT

第1章 绪论-1

1.1课题背景-1

1.2课题意义-1

1.3本文研究内容-2

1.4数值求解方法概述-2

第2章 差分法解边值问题-3

2.1 有限差分法-3

2.2 拉普拉斯方程-3

2.3 方程离散的两种方法-4

2.3.1 有限差分法-4

2.3.2 有限差分法公式的推导-5

2.3.3 有限体积法-6

2.3.4 两种方法的比较-6

第3章 差分法求解边值问题的步骤-7

3.1 差分法求解边值问题的步骤-7

3.2 边界条件处理方法-8

第4章 数值模拟-11

第5章 结论与展望-19

5.1结论-19

5.2不足之处及未来展望-19

参考文献-20

致  谢-21

附录： 程序-22