摘要：拓扑空间是点集拓扑学的主要研究对象，而距离空间又是特殊的拓扑空间。本文就距离空间上一些重要的拓扑性质进行了探究。主要包括三个部分。第一部分介绍相关的泛函分析和拓扑学的相关理论知识，拓扑空间的基本概念和基本结构。作为特殊的拓扑空间—距离空间，介绍了几个常见的具体的距离空间。第二部分主要是在距离空间上讨论序列的收敛性，可分性以及紧性。第三部分主要介绍了特殊的距离空间—函数空间，以及函数空间三个特殊拓扑的可数性。

关键字：距离空间；拓扑性质；紧性；可分性；函数空间

目录

摘要

Abstract

1绪论-1

1.1研究背景-1

1.2研究意义-2

2相关的理论基础-4

2.1相关定理与定义-4

2.2常见的距离空间-6

3距离空间的拓扑性质-10

3.1距离空间序列的收敛性-10

3.2距离空间的可分性-12

3.3距离空间的紧性-14

4函数空间的拓扑性质-16

4.1函数空间上三个拓扑的关系-16

4.2函数空间的可数性-19

5总结-22

参考文献-23