摘要：拉普拉斯方程是许多物理量遵循的微分方程，因此求解拉普拉斯方程就显得格外重要。分离变量法在众多求解静电场边值的办法中是很有效的一种。其基本思想是：通过寻找可以表达为分离变量形式不为零的特解, 将偏微分方程转化为微分方程, 同时对齐次边界条件分离变量，把它转化为微分方程的附加条件, 这些条件和微分方程一起构成本征值问题。本文先介绍分离变量法的基本理论依据以及思想，再通过在球坐标系下对拉普拉斯方程的推导，得出分离变量法的一般形式。然后通过对球坐标系下解的研究并关联勒让德多项式，进一步阐述对分离变量法的理解。其中还会涉及泊松方程，格林函数等许多经典数学物理方法。最后加入球谐函数的实现程序，加以完善。

关键词:分离变量法；球坐标系；勒让德多项式；泊松方程

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摘要

Abstract

第一章 绪论-1

1.1 选题背景及意义-1

1.2 研究的主要内容-1

1.3国内外研究现状-2

1.3.1国内研究现状-2

1.3.2国外研究现状-2

第二章 位势方程-3

2.1 静电势-3

2.2 径向解和拉普拉斯方程的通解-3

第三章 泊松方程及其解法-5

3.1 球谐函数-5

3.2 球坐标下拉普拉斯方程的解-6

3.3 分离变量法-7

第四章 勒让德多项式-10

4.1 轴对称的勒让德多项式-10

4.2 多极非轴对称和关联勒让德函数-12

第五章 递推法实现球谐函数-17

5.1 球谐函数程序的实现-17

5.2 球谐函数的相关应用-20

5.3拉普拉斯的MATLAB仿真实现-21

第六章 结论-24

参考文献-25