群论概况

分类：参考文献    更新时间：05-11    来源：网络

 数学也可算是一门古老的学科，据考证，大约在一万年前，人们就已经认识到自然数。群作为一种数学系统，是数学家伽罗瓦提出来的，是数学中抽象代数的重要组成部分。近些年来，由于群的独特而优美的结构，以及与其他数学学科乃至物理、化学等自然科学的紧密结合，发展态势极为可观，容量也及其庞大！

群论就是关于群的理论，所谓群就是指在一个非空集合中定义一种运算，这种运算满足结合律，并且，在此运算下，集合中的每一个元素都有唯一一个逆元，并且在这个集合中还有唯一一个单位元。群是一个非常简单的数学系统，只要在一个非空集合中定义了运算，这个运算满足结合律，并且能产生逆元和单位元，那就自然构成群。那么，数学家们又是怎样来研究这种代数系统呢？

我们知道在高等代数里，对线性空间的研究可以从子体系、商体系和同构入手，那么对于群的研究而言，它是否也可以这样去做呢？经过无数次的探究论证发现，研究群依然可以按以上三种方法进行。在群所对应的集合中的子集，若按该群的运算依然可以构成一个群，那么这个群的子群就应运而生。对子群的探究，无疑是充满趣味的，在这里，对子群所应集合倍集的探究，发现了这样一种现象；有些子集，对于群的运算，左倍集与右倍集所产生新的集合全等，如果一个群的子群具有这样完美的特征，那么就称该子群为这个群的正规子群，而这个正规子群，其对应的集合，若做倍集运算，也会搞出新的名堂；两个左倍集（右倍集）运算之后，其结果依然是这个子集的左倍集（右倍集），并且经证明；一个群对应的集合可以等同于若干该群的正规子群对应集合的左（右）倍集的并集，以这些左（右）倍集为元素，可以构成又一个新的集合，然后再按照原始群的运算，也可以构成一个新的群，数学家们又将这个新构成的群，称为原始群的商群。这样，群的商体系自然就产生了。

线性空间的同构，是就两个线性空间而言的。如果在两个线性空间中存在一一映射[ 或者说双射，就是既是单射又是满射，]，并且满足线性运算[ 可参看北京大学前代数研究小组编写的（高等代数）第四版，高等教育出版社]，那就说这两个线性空间是同构的。然而，线性运算是加法与数量乘法这两个运算的和，在群中只存在一种运算，那该怎样构造同构这座链接两个群的桥梁呢？经过数学家们反复斟酌，最终构造出的同构，与线性空间的基本一样，只是运算做了去除数量乘法的变化。借助于同构这座桥梁，可以用已知的群探究未知的群，这也是一个极具理想色彩的。但值得喜悦的是，凭借这种手段，在群理论的研究中取得了非常好的成绩，为群这一“理论殿堂”夯实了土壤。

通过对群的构思与研究，至少给予我们法学专业的人以下几点启发；

第一、群论的研究伴随着猜测与严谨。在对群的探索中，数学家们也做过许许多多的猜想，当猜测做出时，论证该猜想就是一件困难的事情了，有时候论证小小的一步骤，就得花上个几年光景，虽说充满艰辛，但还是不停的努力，最终的结果，无疑是充满喜悦的。数学的逻辑推断，必须以概念、公理和已经证明了的定理为基本依据，小心求证；推断的过程，也得按照正确的方法，也就是数学的思维方式，者无疑是能陶冶情操的最佳良策之一。

第二、群论是建立在理想模型的基础上的。群论的研究，和其他的数学领域一样是在理想中运行的，其实，数学研究的每一个领域都是如此。很多人都说法律（法学）没有数学那么严谨，这也有他的的道理，毕竟数学的研究与法律有着天然的不用；所谓的理论严谨，无非就是这一套理论体系没有该理论所调整范围方面的漏洞罢了。法律是现实的，数学是理想的。法律任何一个部门所要面对的，是现实的人与事儿，数学的任何一个分支要面对的，是经过“修正”之后的理想模型，在一个理想的环境里研究理想的事物，在特定的范围内归纳理论，由于这个范围事物没有人的世界那么活泼浮躁，最终得到、且被所有数学家认可的研究结果，其严谨的程度无疑是可观的。而法律所要接触和面对的，是最现实的，要在一个现实的领域里得到让所有法学家都幸福的理论结果，那恐怕是件不可能的事情。即使得到了所有法学家的肯定，但由于人类社会的不停运动，当初肯定的理论，也会付之东流。从这一点来讲，法学的研究要和数学一样严谨，那几乎是不可能。

第三、群论的研究是由一个“圆环”向周围扩张，与此同时又向内部无限逼近、一环接一环的。高度的抽象性、紧密的连续性和理论的高度严谨性是数学的三大特征，也可以算得上数学的一条亮丽的风景线。数学的探究，数学的思维方式起到了关键的作用，数学思维方式按照观察现象、抽象概念，探索新事物、猜测可能结果、最后严谨论证这五个步骤[ 丘维声（数学的思维方式与创新）北京大学出版社]。就其探索事项而言，有时候会通过由环向周围扩张，与此同时又向内部无限逼近的方法。群的研究也继承了这种方式，既有向四周的扩张又有向内部的逼近，环和环之间，是紧密相连的。这也是群这一理论在目前数学家心目中如此具有威望的关键所在，这一点非常值得法学、尤其是宪法学的借鉴。

对于群的说明，我们在这里就告一段落。那么，群又同宪法有着怎样的联系？从群论与宪法学的对比中，又能得出怎样的结论？通过对群的摸索，又能给宪法威严的实现有着怎样的帮助呢？对此，我们进入下一个话题。